PENERAPAN PROGRAM LINEAR DALAM MENGOPTIMALKAN
LABA MAKSIMUM USAHA CAKUE LING-LING DENGAN BIAYA MINIMUM
LANDASAN TEORI
A. Pengertian
Program Linear
Program
linier ditemukan dan diperkenalkan oleh George Dantzig yang berupa metode
mencari solusi masalah program linier dengan banyak variable keputusan. Program
linier adalah perencanaan kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum
yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian
sumberdaya-sumberdaya yang terbatas secara optimal. Sistem pertidaksamaan
linear dua variabel berupa beberapa pertidaksamaan linear yang terdiri dari 2 variabel,
biasanya x atau y (walaupun jenis variabel
lainnya tetap memungkinkan). Pertidaksamaan linear dua variabel memiliki bentuk
umum seperti berikut:
ax
+ by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, atau ax + by ≥ c
Sebelum
menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel,
sebaiknya kita tahu terlebih dahulu mengenai himpunan penyelesaian.Himpunan
penyelesaian merupakan himpunan pengganti nilai variabel sedemikian
sehingga menyebabkan sistem pertidaksamaan menjadi pernyataan yang
benar. Daerah penyelesaian yang akan kita gambar merupakan daerah dari himpunan
penyelesaian tersebut. Daerah ini berisi himpunan pasangan berurutan (x, y)
yang menjadi anggota dari himpunan penyelesaian.
B. Permasalahan
Program Linear
Permasalahan
Program Linear adalah suatu permasalahan untuk menentukan besarnya
masing-masing nilai variable yang mengoptimumkan nilai fungsi objektif dengan
memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada, yaitu yang diinyatakan dalam
bentuk persamaan-persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linear.
Suatu
permasalahan dapat dikatakan permasalahan program linear, jika memenuhi
ketentuan0ketentuan berikut.
1. Tujuan
(objektif) permasalahan yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk
fungsi linear ax + by = z. Fungsi linear inin dikenal dengan fungsi tujuan
(fungsi objektif).
2. Harus
memiliki alternatif pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan
menjadi optimum, misalnya : keuntungan yang maksimum, pengeluaran biaya yang
minimum, dan sebagainya.
3.
Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang
terbatas, seperti modal terbatas, bahan mentah terbatas, dan sebagainya.
Pembatasan-pembatasan dari sumber yang tersedia harus dinyatakan dalam bentuk
pertidaksamaan linear.
Permasalahan program linear secara umum dapat
dirumuskan sebagai berikut.
1. Permasalahan
Program Linear Maksimasi
Fungsi
objektif maksimum : z = ax + by
Pembatsan
(syarat-syarat) : c1x + d1y ≤ e1, i = 1, 2, … n,
x ≥ 0 , y ≥ 0.
Dicari
: x dan y.
Keterangan
:
· Ada
dua macam barang yang akan diproduksi, dengan banyaknya masing-masing adalah x
dan y.
· a
dan b masing-masing menyatakan harga per satuan barang x dan y.
· c1 dan
d1 adalah banyaknya bahan mentah ke-I yang digunakan untuk
memproduksi barang x dan y.
· e1 adalah
jumlah bahan mentah ke-i.
2. Permasalahan
Program Linear Minimasi
Fungsi
objektif mainimum : z = ax + by
Pembatsan
(syarat-syarat) : c1x + d1y ≥ e1, i = 1, 2, … n,
x ≥ 0 , y ≥ 0.
Dicari
: x dan y.
Keterangan
:
· Ada
dua macam barang yang akan diproduksi, dengan banyaknya masing-masing adalah x
dan y.
· a
dan b masing-masing menyatakan besarnya ongkos per satuan barang x dan y.
· c1 dan
d1 adalah banyaknya orang ke-I yang dipekerjakan untuk
memproduksi barang x dan y.
· e1 adalah
jumlah bbiaya ke-I yang dikeluarkan.
C. Menentukan
Nilai Optimum Fungsi Objektif
1. Metode
Uji Titik Pojok
Titik
pojok merupakan sebuah titik pada atau di dalam daerah penyelesaian yang
merupakan perpotongan dua garis pembatas. Titik pojok ini sering disebut dengan
titik ekstrim. Titik-titik ekstrim inilah yang paling menentukan nilai optimum
fungsi tujuan dalam masalah program linear. Langkah-langkah dalam
menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode uji titik pojok
yaitu :
a. Tentukan
kendala-kendala dari permasalahan program linear yang dimaksud.
b. Gambarlah
daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
c. Tentukan
titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
d. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
d. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
e. Bandingkan
nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai
maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai
terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).
2. Metode
Garis Selidik
Garis
selidik ax + by = k merupakan suatu garis yang berfungsi untuk menyelidiki dan
menentukan sampai sejauh mana fuungsi objektif z maksimum atau minimum.
Langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan
garis selidik yaitu :
a. Tentukan
model pertidaksamaan dari informasi soal dan gambarkan daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat.
b. Tentukan
garis selidik ax + by = k apabila
fungsi objektifnya f(x, y) = ax + by, a,b,
dan k bilangan real. Aturan penggunaan garis selidik yaitu :
1) Gambar
garis ax + by = ab yang memotong sumbu x di titik (b,
0) dan memotong sumbu y di titik (0, a).
2) Tarik
garis-garis sejajar dengan ax + by = ab hingga nilai z
maksimum atau minimum.
c. Untuk
menentukan nilai maksimum, jika garis ax + by = k1 sejajar
dengan garis ax + by = ab dan berada di
paling atas atau berada di paling kanan pada daerah himpunan penyelesaian, maka
z = k1 merupakan nilai maksimumnya.
d. Untuk
menentukan nilai minimum, jika garis ax + by = k2 sejajar
dengan garisax + by = ab dan berada di paling bawah atau
berada di paling kiri pada daerah himpunan penyelesaian, maka z = k2 merupakan
nilai minimumnya.
BAB III
METODE ANALISIS
Langkah-langkah yang digunakan dalam menganalisis data
yang kami peroleh yaitu :
A. Teknik
Pengumpulan Data
Pada
prinsipnya data yang dibutuhkan dan dianalisis dalam penelitian ini bersumber
dari data sekunder. Untuk itu dibutuhkan beberapa metode pengumpulan data yang
digunakan terdiri dari kepustakaan, observasi dan interview.
Observasi
dan interview dilakukan langsung ke tempat penjualan Cakue Ling-Ling pada hari
Jum’at, 10 Oktober 2014 di sebelah barat SMA N 1 Kebumen atau di Jalan Veteran.
Adapun studi kepustakaan dilakukan dengan bantuan internet dan perpustakaan SMA
N 1 Kebumen.
B. Teknik
Pengambilan Sampel
Teknik
pengambilan sampel yang digunakan adalah probability sampling, yaitu teknik
pengambilan sampel yang memberikan peluang yang sama bagi setiap unsur anggota
populasi untuk dipilih menjadi anggota sampel. Permasalahan yang dihadapi
adalah bagaimana mengambil keputusan dengan memanfaatkan data yang tersedia
untuk menyelesaikan masalah dengan tujuan yang dibatasi oleh keterbatasan
tertentu. Permasalahan ini dapat diatasi dengan memanfaatkan program linear atau
MetodeLinear Programming. Metode Linear Programming terdapat
2 jenis, yaitu: metode grafik dan metode simpleks. Pada penelitian ini akan
digunakan metode grafik.
C. Rancangan
Pemecahan Masalah
Langkah-langkah awal yang harus ditentukan dalam
penyelesaian masalah dengan metode program linear adalah dengan menentukan 3
faktor utama, yaitu:
1. Variabel
keputusan ,
Produk apa saja yang akan diproduksi dan berapa jumlah
unit yang akan diproduksi
dalam suatu periode tertentu.
2. Fungsi
tujuan
z max = ax + by
3. Langkah-langkah
yang ditempuh dalam menyelesaikan penelitian adalah sebagai berikut :
1. Mengumpulkan
data sekunder yang dikumpulkan meliputi data jumlah produksi, harga jual, harga
produksi, jenis sumber daya, jumlah ketersediaan sumber daya dan jumlah
penggunaannya secara aktual.
2. Melakukan
studi kepustakaan untuk mencari teori-teori sebagai dasar pemecahan masalah
program linear terkait.
3. Memodelkan
setiap data yang diperoleh dari penelitian dan permasalahannya ke program
linier
4. Fungsi
tujuan yang akan dicapai adalah maksimasi laba. Model perumusan program linier
secara matematis dari fungsi tujuan.
5. Menentukan
titik potong dari setiap persamaan garis, kemudaian menggambarkannya dalam
koordinat cartesius untuk mendapatkan daerah himpunan penyelesaian.
6. Menentukan
titik pojok daerah himpunan penyelesaian.
7. Mensubstitusikan
titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian ke dalam fungsi objektif
(tujuan) untuk menentuan laba maksimum.
8. Menyelesaikan
masalah optimasi jumlah produksi dengan mengerjakan data yang telah dimodelkan
ke dalam bentuk program linear.
9. Menentukan
bagaimana caranya agar usaha tersebut dapat berkembang lebih maju.
10. Penyusunan
laporan dari penelitian yang dilakukan beserta dengan hasil perhitungan yang
diperoleh.
BAB IV
PEMBAHASAN
A. Deskripsi
Usaha
Cakue
Ling-Ling merupakan salah satu
bentuk usaha dari sekian banyak bisnis kuliner yang merambah di sekitar pusat
jajanan kuliner di wilayah Kebumen. Lebih tepatnya, usaha ini berlokasikan di
Jalan Veteran sekitar alun-alun Kebumen atau di sebalah
barat SMA N 1 Kebumen. Seperti yang telah
kita ketahui, bisnis kuliner merupakan bisnis yang terus berkembang dan tak ada
matinya dikarenakan kuliner atau makanan ini merupakan kebutuhan pokok dan
mendasar yang pemenuhannya akan terus dibutuhkan. Beragamnya jenis bisnis kuliner
ini akan terus dikembangkan mengikuti perkembangan selera masyarakat. Banyak
ragam bisnis kuliner yang telah dikembangkan, baik kuliner nusantara
(tradisional), kuliner modern, ataupun inovasi dari keduanya. Cakue Ling-Ling
ini lebih dikhususkan untuk memenuhi selera masyarakat akan ragam kuliner
tradisional, yaitu kuliner khas masyarakat Palembang yang banyak digemari dan
tidak asing lagi di lidah mayarakat Indonesia. Akan tetapi, bisnis Cakue
Ling-Ling ini masih termasuk bisnis berskala kecil. Dua produk unggulan yang
ditawarkannya yaitu Cakue dan Kue Bantal. Bisnis ini dikelola sendiri oleh pemilik modal yang juga
berperan sebagai pelaku bisnis yaitu Bu Nur Kholisah (51). Setiap harinya, bisnis Cakue
Ling-Ling ini mulai dijalankan dari pukul 14.00 sampai pukul 18.00.
Perputaran modal dan keuntungannya dihitung
per hari. Dalam sehari, kira-kira modal yang dibutuhkan yaitu sekitar Rp
50.000,- dengan perincian untuk cakue sebesar Rp 30.000,- dan untuk kue bantal
Rp 20.000-. Rata-rata dalam sehari banyaknya Cakue yang dapat terjual
yaitu sebanyak 40 buah sedangkan untuk Kue Bantal yaitu
sebanyak 45 buah . Maksimalnya dalam sehari yaitu kedua produk itu dapat
terjual sekitar 100 buah. Dari hasil penjualan itu untung yang diperoleh per
harinya untuk Cakue
dan KueBantal berjumlah sama, yaitu masing-masingnya sebesar Rp
20.000,- . Jadi, secara keseluruhan untung yang diperoleh yaitu
sebesar Rp 40.000,- atau sebesar 80% dari modal awal.
Gambar
1. Kue Bantal Gambar
2. Cakue
B. Analisis
Usaha
Dari data yang telah kami peroleh (perinciannya terlampirkan) , analisis
biaya usaha Cakue Ling-Ling terangkum dalam tabel berikut.
Tabel 1. Analisis
Biaya Usaha Cakue Ling-Ling
|
Cakue
|
Kue Bantal
|
|
|
Modal yang
diperlukan
|
Rp 30.000 ,-
|
Rp 20.000 ,-
|
|
Keuntungan yang
diperoleh
|
Rp 20.000 ,-
|
Rp 20.000 ,-
|
|
Jumlah Terigu yang
diperlukan
|
2 kg
|
1 kg
|
|
Jumlah Terigu yang
diperlukan (per satu buah produk)
|
50 gram
|
20 gram
|
|
Minyak Goreng yang
dibutuhkan
|
0,5 kg
|
0,5 kg
|
Dari tabel tersebut kita dapat menganalisis
bagaimana caranya untuk dapat memperoleh keuntungan maksimum (sebagai fungsi
objektif) melalui cara penyelesaian menggunakan program linear. Dalam
analisis ini, penulis ingin membuat analisis bagaimana untuk mendapatkan
perolehan keuntungan maksimum dengan modal yang dikembangkan. Dapat
diasumsikan jika per harinya pemilik usaha dapat memperoleh keuntungan Rp
40.000,- per hari dari modal, maka setiap harinya pemilik modal dapat
menyisihkan Rp 10.000,- dari keuntungan untuk menambah modal dengan tujuan
memperbesar usaha. Jika demikian, dalam 5 hari saja pemilik usaha dapat
menambah modalnya menjadi dua kali lipatnya.
Jika demikian, maka kira-kira jumlah cakue dan
kue bantal yang dapat dibuat maksimal sekali berkisar antara 200 buah ( Jika
biasanya maksimal sekali 100 buah produknya yang dapat terjual, maka dengan
modal yang dilipatgandakan 2 kali lipat, maka otomatis jumlah maksimal yang
dapat dibuat yaitu sekitar 200 buah).
Selain itu, diperkirakan jumlah terigu
maksimal yang dapat diperlukan jika modal dilipatgandakan menjadi dua yaitu
sekitar 7 kg. Dengan demikian diperoleh model
matematika sebagai berikut
:
Dimisalkan, x = Cakue dan y = Kue Bantal
Maka, x + y ≤ 200
50 x + 20 y ≤ 7000 --» 5x
+ 2y ≤ 700
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi tujuan (untuk pencapaian modal maksimum)
adalah 20.000x + 20.000y
C. Optimalisasi
Usaha
Dalam
menentukan optimalisasi keuntungan pada usaha Cakue Ling-Ling, penulis
menganalisi dengan menggunakan program linear menggunakan metode uji titik
pojok. Dari model matematika yang telah diketahui di atas,penentuan titik
potong masing-masing garis pembatas dengan sumbu koordinat, seperti terlihat
pada tabel di bawah ini.
|
x + y = 20
|
|||
|
x
|
y
|
Titik
|
|
|
0
|
20
|
(0, 20)
|
|
|
20
|
0
|
(20, 0)
|
|
|
5x + 2 y = 700
|
|||
|
x
|
y
|
Titik
|
|
|
0
|
350
|
(0, 350)
|
|
|
140
|
0
|
(140, 0)
|
|
Diperoleh
lukisan DHP sebagai berikut :
Grafik Daerah Himpunan
Penyelsaian
Titik A (0, 200)
Titik
B --» 5x + 2y = 700 x
1 5x + 2y = 700
x + y = 200 x
2 2x + 2y = 400
3x =
300
x =
100
Maka
y = 100
Jadi
titik B (100, 100)
Titik
C (200, 0)
Kemudian
menentukan nilai maksimum dengan metode uji titik pojok.
Tabel 4. Penentuan
Fungsi Tujuan
|
Fungsi tujuan : z = 500x + 400 y
|
||
|
Jumlah Cakue (x)
|
Jumlah Kue Bantal (y)
|
Untung penjualan yang diperoleh
|
|
0
|
200
|
500 (0) + 400 (200) = 80. 000
|
|
100
|
100
|
500 (100) + 400 (100) = 90. 000
|
|
200
|
0
|
500 (200) + 400 (0) = 100. 000
|
Berdasarkan penyelesaian menggunakan program
linear tersebut untuk mendapatkan fungsi tujuan yaitu perolehan keuntungan
maksimum dapat kita lihat pada tabel di atas. Tabel tersebut menujukkan
bahwa keuntungan maksimum 100% dapat diperoleh jika pemilik usaha hanya menjual cakuenya
yaitu sebanyak 200 buah sehari. Akan tetapi, pada realisasinya usaha Cakue
Ling-Ling tersebut menawarkan dua jenis produknya. Apabila usaha Cakue
Ling-Ling hanya menyediakan Cakue belum tentu akan terjual keseluruhannya,
dikarenakan banyak konsumen yang menyukai Kue Bantal. Dengan demikian maka
pilihan kedua lebih memunginkan untuk diterapkan. Pemilik modal dapat
meningkatkan perolehan keuntungannya yang semula hanya 80% menjadi 90%.
D. Pengembangan
Usaha
Usaha Cakue Ling-Ling ini masih tergolong
usaha kecil. Akan tetapi, meskipun tarafnya masih termasuk usaha kecil,
keuntungan yang diperolehnya tergolong tinggi yaitu sebesar 80%.
Berdasarkan perkiraan yang telah penulis bahas sebelumnya, hanya dengan
melipatgandakan modalnya yang relatif sangat kecil untuk ukuran
usaha saja keuntungan yang dapat diperoleh dapat meningkat. Dengan demikian
prospek dari usaha Cakue Ling-Ling ini termasuk menjanjikan apabila
dikembangkan seoptimal mungkin.
Namun dalam realitas, menambah jumlah komoditi yang
diproduksi terkadang belum tentu dapat menambah keuntungan, bahkan terkadang
dapat membuat rugi dikarenakan peningkatan komoditi industri seringkali tidak
disertai penambahan minat dan kebutuhan masyarakat. Untuk mengatasi hal-hal
seperti ini, ada beberapa hal yang dapat menjadi solusi, yaitu dengan melihat
lokasi pasar yang tepat untuk usaha tersebut. Lokasi usaha Cakue Ling-Ling ini
termasuk lokasi yang tidak terlalu strategis untuk berusaha kuliner. Hal ini
dikarenakan lokasi jalan Veteran yang merupakan jalan yang tidak terlalu ramai
dilalui dan jalan ini termasuk jalan besar yang arus lalu lintasnya lancar,
jadi orang tidak akan begitu tertarik untuk menepi dan mencoba produk. Hal ini
dapat diatasi dengan memindahkan usaha ke sekitar Jalan Mayjend Sutoyo yang
merupakan pusat jajanan Kebumen. Di sini merupakan area ramai orang berkuliner
di sekitar jalan. Apalagi sejauh ini hanya ada satu usaha yang juga tidak
teralu besar yang juga menjual produk yang sama, yaitu Cakue. Akan tetapi, rasa
dan penyajiannya jauh berbeda. Jadi, hal ini dapat dijadikan pertimbangan.
|
Gambar 3. Lokasi Penjualan di Jalan
Veteran
|
Begitupun untuk
faktor-faktor operasional yang masih dipertahankan oleh pelaku usaha Cakue
Ling-Ling, yaitu QCT (Quality, Cost, dan Cost). Kualitas yang diberikan oleh
pelaku usaha tersebut sudah baik, seperti pelayanan yan ramah dan mutu produk
usaha. Adapun waktu pembuatan Cakue Ling-Ling relatif cepat karena sudah ahli
dalam pembuatan. Sedangkan biaya yang ditawarkan dalam setiap produk usaha
Cakue Ling-Ling sudah sesuai dengan mutu yang dihasilkan.
